Metrinen avaruuden täydellisyyttä ei ole säilynyt homeomorfismissa.
Mitä homeomorfismi säilyttää?
Homeomorfismi, jota kutsutaan myös jatkuvaksi muunnokseksi, on ekvivalenssisuhde ja yksi yhteen vastaavuus kahden geometrisen kuvion tai topologisen avaruuden pisteiden välillä, joka on jatkuva molempiin suuntiin. Homeomorfismia, joka säilyttää myös etäisyydet, kutsutaan isometriaksi.
Säilyttääkö homeomorfismi tiiviyden?
3.3 Kompaktien tilojen ominaisuudet
Aiemmin huomautimme, että tiiviys on avaruuden topologinen ominaisuus, eli se on säilytetty homeomorfismilla. Sitä paitsi mikä tahansa jatkuva toiminto säilyttää sen.
Onko täydellisyys topologinen ominaisuus?
Täydellisyys ei ole topologinen ominaisuus, eli ei voida päätellä, onko metriavaruus täydellinen, vain katsomalla alla olevaa topologista avaruutta.
Miksi rajallisuus ei ole topologinen ominaisuus?
Metrisillä avaruuksilla meillä on rajallisuuden käsite: eli metriavaruus on rajoitettu, jos on olemassa jokin reaaliluku M siten, että d(x, y) ≤ M kaikille x, y. Rajaisuus ei ole topologinen ominaisuus. Esimerkiksi (0, 1) ja (1, ∞) ovat homeomorfisia, mutta yksi on rajoitettu ja toinen ei. ∞ n=1 on pistejono X:ssä.
