Ensimmäinen lause, jonka Pugh todistaa, kun hän määrittelee Riemannin integraalin, on, että integroituvuus merkitsee rajallisuutta. Tämä on Lause 15 sivulla 155 painoksessani. Tämä osoittaa, että määritelmistä on ensin sovittava.
Tarkoittaako Riemannin integroitavuus rajoitettua?
Lause 4. Jokainen Riemannin integroitava funktio on rajoitettu.
Ovatko rajoittamattomat funktiot integroitavissa?
Rajaton funktio ei ole Riemannin integroitavissa. Seuraavassa "integroituva" tarkoittaa "Riemannin integroitavaa" ja "integraali" tarkoittaa "Riemannin integraalia", ellei nimenomaisesti toisin mainita. f(x)={ 1/x jos 0 < x ≤ 1, 0 jos x=0. joten f:n ylemmät Riemannin summat eivät ole tarkasti määriteltyjä.
Onko Lebesguen integroitavissa oleva funktio rajoitettu?
Mitattavat funktiot, jotka on rajattu, vastaavat Lebesguen integroitavia funktioita. Jos f on rajallinen funktio, joka on määritelty mitattavissa olevalle joukolle E äärellisellä suurella. Silloin f on mitattavissa silloin ja vain jos f on Lebesgue-integroitava. … Toisa alta mitattavissa olevat funktiot ovat "melkein" jatkuvia.
Mistä tiedät, onko funktio Lebesgue-integroitavissa?
Jos f, g ovat sellaisia funktioita, että f=g melkein kaikkialla, niin f on Lebesgue integroitavissa silloin ja vain jos g on Lebesgue-integraali ja f:n ja g:n integraalit ovat sama, jos ne ovat olemassa.
