Olkoon P G:n Sylow-p-alaryhmä. … Jos G on yksinkertainen, siinä on 10 luokan 3 alaryhmää ja 6 luokan 5 alaryhmää. Koska nämä ryhmät ovat kuitenkin kaikki syklisiä alkujärjestyksessä, mikä tahansa ei-triviaali G:n elementti sisältyy enintään yhteen näistä ryhmistä.
Ovatko P-ryhmät syklisiä?
Triviaaliryhmä on ainoa järjestyksen ryhmä, ja syklinen ryhmä C p on ainoa järjestyksen ryhmä p.
Ovatko alaryhmät syklisiä?
Lause: Kaikki syklisen ryhmän alaryhmät ovat syklisiä. Jos G=⟨a⟩ on syklinen, niin jokaiselle |G|:n jakajalle d on olemassa täsmälleen yksi d:n aliryhmä, jonka a|G|/d a | voi muodostaa G | / d. Todistus: Olkoon |G|=dn | G |=d n.
Ovatko P Sylow -alaryhmät normaaleja?
Jos G:llä on täsmälleen yksi Sylow-p-alaryhmä, sen on oltava normaali, koska tietyn tilauksen yksilöllinen alaryhmä on Normaali. Oletetaan, että Sylowin p-alaryhmä P on normaali. Sitten se vastaa konjugaattejaan. Siten kolmannen Sylow-lauseen mukaan tällaista Sylow-p-alaryhmää voi olla vain yksi.
Ovatko sylow P-alaryhmät Abelin?
Todistamme, että äärellisen ryhmän G Sylowin p-alaryhmät ovat abelian jos ja vain, jos G:n p-alkioiden luokkakoot ovat kaikki p-alkioiden koprime-lukuja, ja, jos p ∈ { 3, 5 }, G:n pääp-lohkon jokaisen redusoitumattoman merkin aste on koprime p:ään p.
