2024 Kirjoittaja: Elizabeth Oswald | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-13 00:06
Huom: on totta, että jokainen rajoitettu sekvenssi sisältää konvergentin osasekvenssin, ja lisäksi jokainen monotoninen sekvenssi konvergoi silloin ja vain jos se on rajoitettu. Lisätty Katso monotonisen konvergenssilauseen merkintä saadaksesi lisätietoa rajoitettujen monotonisten sekvenssien taatusta konvergenssista.
Konvergoiko jokainen rajoitettu sekvenssi R:ssä?
Lauseessa sanotaan, että jokainen rajattu sekvenssi kohdassa R on konvergentti osasekvenssi. Vastaava muotoilu on, että R:n osajoukko on peräkkäin kompakti, jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu. Lausetta kutsutaan joskus peräkkäisen kompaktiuden lauseeksi.
Onko jokainen rajattu reaalilukujono konvergoiva?
Vastaus ja selitys: (a) Onko jokainen rajoitettu sekvenssi konvergentti? Ei.
Suppeneeko jokainen rajoitettu monotoninen sekvenssi?
Eivät kaikki rajatut sekvenssit, kuten (−1)n, converge, mutta jos tietäisimme, että rajoitettu sekvenssi on monotoninen, tämä muuttuisi. jos an ≥ an+1 kaikille n ∈ N. Sarja on monotoninen, jos se on joko kasvava tai laskeva. ja rajattu, niin se suppenee.
Onko kaikilla rajoitetuilla sarjoilla konvergentti osasekvenssi?
Bolzano-Weierstrassin lause: Jokaisella rajatulla sekvenssillä Rn:ssä on konvergentti osasekvenssi. luvusta {xmk } on reaalilukujen rajoitettu sarja, joten silläkin on konvergentti osajono, … Sitä vastoin jokainen rajoitettu sarja onsuljettu ja rajoitettu joukko, joten sillä on konvergentti osajono.
