Matematiikassa topologisen avaruuden osajoukkoa ei sanota missään tiheäksi tai harvinaiseksi, jos sen sulkeutumisen sisäpuoli on tyhjä. Hyvin väljässä mielessä se on setti, jonka elementit eivät ole tiiviisti ryhmitelty missään. Esimerkiksi kokonaisluvut eivät ole missään tiheitä todellisten joukossa, kun taas avoin pallo ei ole.
Eikö 1 N ole missään tiheä?
Esimerkki joukosta, joka ei ole suljettu, mutta joka ei silti ole missään tiheä, on {1n|
∈N}. Sillä on yksi rajapiste, joka ei ole joukossa (eli 0), mutta sen sulkeutuminen ei silti ole missään tiheä, koska yksikään avoin aikaväli ei mahdu {1n|n∈N}∪{0}-alueelle.
Kuinka todistat, että joukko ei ole missään tiheä?
Alijoukkoa A ⊆ X ei sanota missään tiheäksi kohdassa X, jos A:n sulkemisen sisäpuoli on tyhjä, eli (A)◦=∅. Muuten A ei ole missään tiheä, jos se sisältyy suljettuun joukkoon, jossa on tyhjä sisäpuoli. Komplementeista siirryttäessä voimme sanoa vastaavasti, että A ei ole missään tiheä, jos sen komplementti sisältää tiheän avoimen joukon (miksi?).
Mitä kaikkialla tiheys tarkoittaa?
Topologisen avaruuden X osajoukko A on tiheä, jonka sulkeminen on koko avaruus X (jotkut kirjoittajat käyttävät terminologiaa kaikkialla tiheässä). Yleinen vaihtoehtoinen määritelmä on: joukko A, joka leikkaa X:n jokaisen ei-tyhjän avoimen osajoukon.
Onko jokainen tiheä joukko auki?
Topologinen avaruus X on hyperkytketty silloin ja vain jos jokainen ei-tyhjä avoin joukko on tiheä X:ssä. Topologinen avaruus on submaksimaalinen silloin ja vain josjokainen tiheä osajoukko on auki.
